Az egyenértékű egyenletek megértése az algebrában

Az egyenértékű egyenletek olyan egyenletrendszerek, amelyek azonos megoldásokkal rendelkeznek. Az egyenértékű egyenletek azonosítása és megoldása értékes készség, nem csak a algebrai osztály hanem a mindennapi életben is. Vessen egy pillantást az egyenértékű egyenletek példáira, hogyan oldja meg őket egy vagy több változóra, és hogyan használhatja ezt a készséget egy osztálytermen kívül.

Kulcs elvihető

Az egyenértékű egyenletek legegyszerűbb példáin nincs változó. Például ez a három egyenlet egyenértékű egymással:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Nagyon jó elismerni ezeket az egyenleteket, de nem különösebben hasznos. Általában egy egyenértékű egyenletprobléma arra kéri, hogy oldja meg egy változót, hogy megtudja, ugyanaz-e (ugyanaz

Például a következő egyenletek egyenértékűek:

• x = 5
• -2x = -10

Mindkét esetben x = 5. Honnan tudjuk ezt? Hogyan oldja meg ezt a "-2x = -10" egyenlettel? Az első lépés az egyenértékű egyenletek szabályainak ismerete:

• hozzáadása vagy az azonos szám vagy kifejezés kivonása az egyenlet mindkét oldalára egyenértékű egyenletet eredményez.
• Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk vagy osztjuk ugyanazzal a nulla nem számmal, akkor egyenértékű egyenletet kapunk.
• Az egyenlet mindkét oldalát megemelve a azonos páratlan teljesítmény vagy ugyanannak a páratlan gyökérnek az egyenértékű egyenletet eredményez.
• Ha az egyenlet mindkét oldala nemnegatív, ha az egyenlet mindkét oldalát megegyező páros erőre emeli, vagy ugyanazt az egyenletes gyököt veszi, akkor egyenértékű egyenletet kap.

Ezeket a szabályokat a gyakorlatba ültetve határozza meg, hogy ez a két egyenlet ekvivalens-e:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Ennek megoldásához meg kell találnia az „x” értéket mindegyiknél egyenlet. Ha az "x" azonos mindkét egyenlettel, akkor egyenértékűek. Ha az "x" eltérő (azaz az egyenleteknek különböző a gyökere), akkor az egyenletek nem ekvivalensek. Az első egyenlethez:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (mindkét oldal kivonása azonos számmal)
• x = 5

A második egyenlethez:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (mindkét oldal kivonása azonos számmal)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (az egyenlet mindkét oldalát osztjuk azonos számmal)
• x = 5

Tehát igen, a két egyenlet ekvivalens, mert x = 5 mindegyik esetben.

Használhat egyenértékű egyenleteket a mindennapi életben. Különösen hasznos vásárláskor. Például, tetszik egy adott ing. Az egyik cég az inget 6 dollárért kínálja, és 12 dollár szállítással rendelkezik, míg egy másik cég az inget 7,50 dollárért kínálja, és 9 dollárral szállítja. Melyik ing a legjobb áron? Hány inget (esetleg szeretné megszerezni barátainak) vásárolnia kellene, hogy az ár megegyezzen mindkét vállalat számára?

A probléma megoldásához hagyja, hogy "x" legyen az ingek száma. Először állítson be x = 1 értéket egy ing vásárlásához. 1. társaság:

• Ár = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 USD

2. vállalkozás:

• Ár = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 USD

Tehát, ha egy inget vásárol, a második cég jobb ajánlatot kínál.

Annak megállapításához, hogy az árak megegyeznek-e, hagyja, hogy "x" maradjon az ingek száma, de állítsa be a két egyenletet egyenlőnek. Oldja meg az "x" értéket, hogy megtudja, hány inget kell vásárolnia:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9-12 (kivonás azonos számok vagy kifejezések mindkét oldalon)
• -1,5x = -3
• 1,5x = 3 (mindkét oldalt osztva azonos számmal, -1)
• x = 3 / 1,5 (mindkét oldalt elosztva 1,5-del)
• x = 2

Ha két inget vásárol, az ár megegyezik, függetlenül attól, hogy hol kapod. Ugyanezt a matematikát használhatja annak meghatározására, hogy melyik társaság ad jobb megoldást a nagyobb megrendelésekre, és kiszámolhatja, hogy mekkora összeget takarít meg az egyik társaságnál a másiknál. Lásd, az algebra hasznos!

Ha két egyenlete van és két ismeretlen (x és y), akkor meghatározhatja, hogy a lineáris egyenletek két halmaza egyenértékű-e.

Például, ha megadják az egyenleteket:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

Megadhatja, hogy a következő rendszer egyenértékű-e:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

Nak nek oldd meg ezt a problémát, keresse meg az x és az y egyenleteket minden egyenletrendszerhez. Ha az értékek azonosak, akkor az egyenletrendszerek egyenértékűek.

Kezdje az első készlettel. Két megoldására egyenletek kettővel változók, izolálja az egyik változót, és dugja be annak megoldását a másik egyenletbe. Az "y" változó elkülönítése:

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15-12y
• x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (az "x" -et be kell dugni a második egyenletbe)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• -35 + 28y - 10y = -2
• 18y = 33
• y = 33/18 = 11/6

Most csatlakoztassa az "y" -at bármelyik egyenlethez az "x" -hez való megoldáshoz:

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Ezen keresztül végül x = 7/3-t kap.

A kérdés megválaszolásához te tudott alkalmazza ugyanazokat az elveket a második egyenletkészletre az "x" és "y" meghatározásához, hogy megállapítsa, hogy igen, valóban egyenértékűek. Könnyű elragadni az algebrában, ezért érdemes ellenőrizni a munkáját egy online egyenletmegoldó.

Az okos hallgató azonban észreveszi, hogy a két egyenlet halmaz egyenértékű anélkül, hogy bármilyen nehéz számítást elvégezne. Az egyes különbségek az első egyenlet között az egyetlen különbség, hogy az első háromszorosa a második egyenértéknek. A második egyenlet pontosan ugyanaz.