A várható érték képlete

A valószínűség-eloszlásról feltehető természetes kérdés: "Mi a központja?" A várható érték a valószínűség-eloszlás középpontjának egy ilyen mérése. Mivel az átlagot méri, nem meglepő, hogy ez a képlet az átlagból származik.

A kiindulási pont meghatározásához meg kell válaszolni a következő kérdést: "Mi a várható érték?" Tegyük fel, hogy van egy véletlen változónk egy valószínűségi kísérlethez társítva. Tegyük fel, hogy újra és újra megismételjük ezt a kísérletet. Ugyanazon valószínűségi kísérlet többszörös ismétléseinek hosszú távon, ha átlagolnánk a véletlen változó, megkapjuk a várt értéket.

A következőkben megtudjuk, hogyan lehet a képletet használni a várt értékhez. Megvizsgáljuk mind a diszkrét, mind a folyamatos beállításokat, és meglátjuk a képletek hasonlóságait és különbségeit.

A diszkrét eset elemzésével kezdjük. Adott diszkrét véletlen változó x, tegyük fel, hogy értékei vannak x₁, x₂, x₃,... x_n, és a megfelelő valószínűségek p₁, p₂, p₃

A várt érték x a képlet adja meg:

E (x) = x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ +... + x_np_n.

A valószínűségi tömegfüggvény és az összegző jelölés használata lehetővé teszi számunkra, hogy ezt a képletet kompaktabb módon írjuk le az alábbiak szerint, ahol az összegzést az index veszi át én:

E (x) = Σ x_énf(x_én).

A képletnek ez a verziója hasznos látni, mert akkor is működik, ha végtelen mintaterület van. Ez a képlet a folyamatos esethez is könnyen beállítható.

Háromszor flippelj egy érmét, és engedje x legyen a fejek száma. A véletlen változó x diszkrét és véges. Az egyetlen lehetséges érték a 0, 1, 2 és 3. Ennek valószínűségi eloszlása ​​1/8-ra vonatkozik x = 0, 3/8 for x = 1, 3/8 x = 2, 1/8 x = 3. A várható érték képlettel kaphatja meg:

(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5

Ebben a példában azt látjuk, hogy hosszú távon összesen 1,5 feje lesz a kísérletből. Ennek értelme van az intuíciónkkal, mivel a 3 fele 1,5.

Most egy folyamatos véletlen változóhoz fordulunk, amelyet jelölni fogunk x. Hagyjuk, hogy a valószínűségi sűrűség függvénye: x a függvény adja meg f(x).

A várt érték x a képlet adja meg:

E (x) = ∫ x f(xd)x.

Itt láthatjuk, hogy véletlenszerű változónk várható értékét integrálként fejezzük ki.

Sok ilyen van pályázatok a várt értékre egy véletlen változó. Ez a formula érdekes megjelenést mutat a Szentpétervári paradoxon.